Wende den Zwischenwertsatz auf die Funktion \[g : \left[0, \frac{1}{2}\right] \to \mathbb{R}, \quad x\mapsto f\left(x\right) - f\left(x + \frac{1}{2}\right)\] an.
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Betrachte die Funktion
\[g : \left[0, \frac{1}{2}\right] \to \mathbb{R}, \quad x\mapsto f\left(x\right) - f\left(x + \frac{1}{2}\right)\text{.}\]
Mit der Stetigkeit von \(f : \left[0, 1\right]\to \mathbb{R}\) folgt, dass auch \(g\) stetig ist.
\[g\left(0\right) = f\left(0\right) - f\left(0+\frac{1}{2}\right) \stackrel{f(0)=f(1)}{=} f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right)\] \[g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(1\right)\]
1. Fall: \(f\left(1\right) > f\left(\frac{1}{2}\right)\)
Dann ist \[g\left(0\right) = f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) > 0 \] und \[g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(1\right) < 0\text{,}\] weshalb es nach Zwischenwertsatz ein \(x\in\left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\) gibt.
2. Fall: \(f\left(1\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)\)
Dann ist \[g\left(0\right) = f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \text{,}\] so dass es ein \(x \in\left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\) gibt, nämlich \(x = 0\).
3. Fall: \(f\left(1\right) < f\left(\frac{1}{2}\right)\)
Dann ist \[g\left(0\right) = f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) < 0 \] und \[g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(1\right) > 0\text{,}\] weshalb es nach Zwischenwertsatz ein \(x\in\left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\) gibt.
[Ende der Fallunterscheidung]
In jedem Fall gibt es ein \(x\in \left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\). Für dieses \(x\in \left[0, \frac{1}{2}\right]\) ist dann nach Konstruktion der Funktion \(g\) \[f\left(x\right)- f\left(x+\frac{1}{2}\right) = 0\text{,}\] also \[f\left(x\right) = f\left(x+\frac{1}{2}\right)\text{.}\]
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