Ein grober Fehler ist schonmal, dass die erste Ableitung falsch ist. Sie muss lauten:
$$ f'(x)=\sinh\Big(\frac{x}{2}\Big) $$
Demzufolge stimmt dann auch die zweite Ableitung nichtmehr, da sinh(x) abgeleitet wieder den cosh(x) ergibt. Das ist nicht wie beim Ableitungsschema von sin(x) -> cos(x) -> -sin(x) -> -cos(x) und wieder von vorne.