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Aufgabe 4 (6 Punkte)
Gegeben seien die Basen \( A: a_{1}=\binom{1}{1}, a_{2}=\binom{1}{-3} \) für \( \mathbb{R}^{2} \) und \( B: b_{1}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \) für \( \mathbb{R}^{3} \).
Weiter sei \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung mit
\(
\varphi\left(b_{1}\right)=a_{1}, \quad \varphi\left(b_{2}\right)=a_{2}, \quad \varphi\left(b_{3}\right)=2 a_{1}-a_{2} .
\)
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(b) Die Spalten der Matrix \( { }_{A} \varphi_{B} \) sind gegeben durch die \( A \)-Koordinaten \( { }_{A} \varphi\left(b_{1}\right),{ }_{A} \varphi\left(b_{2}\right) \) und \( { }_{A} \varphi\left(b_{3}\right) \) der Bildvektoren \( \varphi\left(b_{1}\right), \varphi\left(b_{2}\right) \) und \( \varphi\left(b_{3}\right) \). Also gilt
bei dieser Aufgabe ist phi von b nach a gesucht und die Lösung gegeben. Allerdings verstehe ich nicht wieso das die Matrix von b nach a ist ( weil wir hier die Standardbasen betrachten). Ich hätte tatsächlich für die Spalten jeweils nur a1(1/1), a2 etc. Eingetragen, aber das ist dann falsch.
Könnte mir das bitte jemand erklären?
LG