Leider weiß ich nicht wie diese Aufgaben Lösen soll, hab mir auch 3 Bücher ausgeliehen und kann nichts dazu finden. Falls jemand eine Lösung dazu hat wäre ich sehr dankbar :)
Aufgabe 2 (Summation)
(a) Beweisen Sie, daß für jede komplexe Zahl \( z \neq 1 \) und jede natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
$$ 1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots+z^{n-1}=\frac{1-z^{n}}{1-z} $$
(b) Leiten Sie hieraus für \( |z|<1 \) die folgende Summenformel ab:
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} z^{n}=\frac{1}{1-z} $$
(c) Nutzen Sie (a), um bei reellem \( z \neq 1 \) einen geschlossenen Ausdruck für die folgende Ableitung anzugeben:
$$ \left[1+2 z+3 z^{2}+4 z^{3}+\ldots+(n-1) z^{n-2}\right]=\frac{d}{d z}\left[1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots+z^{n-1}\right] $$
(d) Beweisen Sie die folgende Summenformel für reelles \( |z|<1, \) indem Sie (a) \( -(c) \) verwenden und Differentiation und Summation vertauschen (dieser Rechenschritt ist hier erlaubt! \( ): \)
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} n z^{n}=\frac{z}{(1-z)^{2}} $$
Hinweis: Ausklammern von \( z \) aus der letzten Summe liefert einen Ausdruck, der mit den Formeln in (c) vervandt ist!