ich habe ein paar Fragen zur Berechnung des Doppelintegrals in dem Bild unten.
Das innere Integral geht von 0 bis R. Was berechne ich damit? Einfach einen Strich auf der x-Achse, der die Länge des Radius hat? Und wieso wird bei dem inneren Integral 1*r integriert? Unser Prof. meinte das r ist ein metrischer Faktor, mit dem man bei der Rechnung mit Polarkoordinaten irgendwas korrigieren muss. Leider hat er die Bedeutung von diesem metrischen Faktor nicht näher erklärt. Und da keine Funktion vorgegeben ist nimmt man einfach den Faktor 1 vor dem Integral, also 1*r.
Vielleicht kann mir jemand erklären was es mit diesem metrischen Faktor r auf sich hat und wieso man 1*r einfach rechnet, als0 welche Bedeutung die 1 hat.
Fläche des Kreises in Polarkoordinaten
\( \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{R} r d r d \phi=\left.\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot r^{2}\right|_{0} ^{R} d \phi=\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot R^{2}-\frac{1}{2} \cdot 0^{2} d \phi \)
\( =\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot R^{2} d \phi=\left.\frac{1}{2} R^{2} \cdot \phi\right|_{0} ^{2 \pi}=\frac{1}{2} R^{2} \cdot(2 \pi-0) \)
\( =\frac{1}{2} R^{2} \cdot 2 \pi=R^{2} \pi \)