02_Aufgaben linA.pdf (0,1 MB)Einen guten Tag alle zusammen,könnt ihr mir bitte die Aufgaben detailierter erklären, es ist sehr wichtig... Ich brauche dies auch dringend für die Uni heute. Ich bedanke mich herzlich im voraus bei euch. MfG.Yasmin
1. Aufgabe
Gegeben sei die folgende Teilmenge des \( \mathbb{C}^{3} \) :
$$ T_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{3} | 2 x_{1}=x_{2}\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} $$
(a) Zeigen Sie, dass \( T_{1} \) ein Teilraum des \( \mathbb{C}^{3} \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \\ {3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} {i} \\ {2 i} \\ {-4} \end{array}\right)\right\} $$
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von \( T_{1} \) bildet. Ist \( \mathcal{B} \) eine Basis von
$$ T_{1} ? $$
(c) Bestimmen Sie die Dimension von \( T_{1} \)
2. Aufgabe
Gegeben sei die folgende Teilmenge des \( \mathbb{R}^{3} \) :
$$ T_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3} $$
Ist \( T_{2} \) ein Teilraum des \( \mathbb{R}^{3} ? \)
3. Aufgabe
Wählen Sie aus der folgenden Menge zwei verschiedene Basen des \( \mathbb{R}^{2} \) aus:
$$ \left\{\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} {-i} \\ {2} \end{array}\right), \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right), \vec{v}_{3}=\left(\begin{array}{c} {-6} \\ {2} \end{array}\right), \vec{v}_{4}=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right), \vec{v}_{5}:=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right), \vec{v}_{6}:=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right)\right\} $$
4. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Dimension des Teilraums
$$ T=\left\{\left(\begin{array}{c} {0} \\ {i b} \\ {3 b} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{3} | b \in \mathbb{C}\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} $$
(b) Ist \( \mathbb{R}^{5} \) ein Teilraum des \( \mathbb{C}^{5} ? \)