Forme erst mal um:
1/((n+0,5)^2) =1 / ( (2n+1)/2 ) ^2 ) = 4 / (2n+1)^2
Da alle Reihen konvergent sind, kann man Faktoren
herausziehen etc.
Dann wird die Reihe ∑1/((n+0,5)2); n=0 bis ∞
zu 4 * ∑1/(2n+1)^2; n=0 bis ∞ .
Betrachten wir erst mal ohne den Faktor 4:
Im Nenner stehen die Quadrate aller ungeraden Zahlen.
Wenn man die Quadrate der geraden Zahlen dazu tut, hat man
die bekannte Reihe ∑1/(n^2) = (π^2)/6 .
Für die Reihe mit den Quadraten der geraden Zahlen erhalte ich
∑1/((2n)^2) = ∑ (1/4*1/(n)^2 ) = (1/4) ∑ 1/(n)^2 = (1/4)* (π^2)/6
= (π^2)/24 .
Also hat man 4 * ( ∑1/(2n+1)^2 + (π^2)/24 ) = 4* ∑1/(n^2) = (2/3)*(π^2)
<=> 4 * ∑1/(2n+1)^2 + (π^2)/6 = (2/3)*(π^2)
<=> 4 * ∑1/(2n+1)^2 = (2/3)*(π^2) - (π^2)/6 = (π^2)/2
<=> ∑1/(2n+1)^2 = (π^2)/8
Oh, hab den Faktor 4 von oben vergessen !