ich bearbeite gerade diese Aufgaben, allerdings fehlen mir die nötigen Eigenschaften des Skalarproduktes bzw. der Norm, um die Aufgabe lösen zu können und auch die Angaben dazu, die ich im Internet gefunden habe bringen mich nicht weiter, zumidest sehe ich nicht so recht, wie ich dass hier anwenden kann. Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Im folgenden bezeichnet \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) das Standardskalarprodukt und \( \|x\|:=\sqrt{\langle x, x\rangle} \) eine Norm. Zeigen Sie, dass für alle \( x, y \in \mathbb{R}^{n} \) gilt:
a) \( \langle x+y, x-y\rangle=\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \)
b) \( \|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-2\langle x, y\rangle \)
c) \( \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=4\langle x, y\rangle \)
d) \( \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2} \)