Hallo,
du hast ja zuerst mit dem Wurzelkriterium den Grenzwert bestimmt. Der lautet ja
$$ \limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\Bigg|\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } { (\sqrt { { n }^{ 2 }+n }-\quad \sqrt { { n }^{ 2 }+1 } })^{ n }\quad .\quad { (x+1) }^{ n }\Bigg|}=...=\frac{|x+1|}{2}\stackrel{!}{<}1 $$
Dieser muss echt kleiner 1 sein, damit die Reihe auch konvergiert (sogar absolut!). Nun musst du alle Werte x finden, die die Ungleichung rechts erfüllen.
$$ \frac{|x+1|}{2}<1 \quad \Longleftrightarrow \quad |x+1|<2$$
Fallunterscheidung:
$$(1)\quad x+1\geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\geq-1\\(2)\quad x+1< 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x<-1\\[35pt](1)\qquad x+1<2 \quad \Longleftrightarrow \quad x<1 ∧ x\geq -1 \quad \Leftrightarrow \quad \underline{-1\leq x<1}\\(2)\quad -x-1<2 \quad \Longleftrightarrow \quad x>-3 ∧ x< -1 \quad \Leftrightarrow \quad \underline{-3< x<-1}$$
Also ergibt sich folgende Lösungsmenge
$$ x\in ]-3,1[=]-1-2,1+2[, $$welche die Ungleichung erfüllt. Und hier sieht man auch gleich, was der Konvergenzradius ist. Er lautet:
$$ R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=2 $$