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Wir wissen, dass der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades immer zu seinem einzigen Wendepunkt symmetrisch ist. Dieser Wendepunkt ist hier der Ursprung und es gilt daher \({b=d=0}\). Der oben bereits angegebene Ansatz kann daher vereinfacht werden zu $$(1)\quad f(x)=ax^3+cx.$$ Ausklammern ergibt $$(2)\quad f(x)=a x\left(x^2+\dfrac{c}{a}\right).$$Das ist möglich, da \(a\ne 0\) vorausgesetzt wurde. Nun bilden wir von (1) die Ableitung $$(3)\quad f'(x)=3ax^2+c,$$ die an der Stelle \(x=-2\) Null ergeben muss, also: $$(4)\quad f'(-2)=12a+c=0\quad\Rightarrow\quad c=-12a$$ Das setzen wir nun in die Form (2) ein und erhalten $$(5)\quad f(x)=a x\left(x^2-12\right)$$Schließlich muss die Funktion an der Stelle \(x=-2\) den Wert \(2\) liefern, also: $$(6)\quad f(-2) = 16a=2\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{1}{8}$$ was zusammen mit (4) $$(7)\quad c=-\dfrac{3}{2}$$ ergibt. Damit sind die vier gesuchten Koeffizienten bestimmt und eine mögliche Funktionsgleichung, etwa in der Form (1), wäre dann $$(8)\quad f(x)=\dfrac{1}{8}\cdot x^3-\dfrac{3}{2}\cdot x.$$