Du sollst vermutlich verifizieren, dass $$f(t)=S \cdot \frac{1}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ die DGL \(f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))\) erfüllt. Die erste Ableitung ist:$$f'(t)=S \cdot \frac{k S e^{-k S t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{\left(1+e^{-k S t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)\right)^{2}}$$ Da erkennt man recht schnell \(f(t)\) drinnen, es ist: $$f'(t)=f(t)\frac{kSe^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}=kf(t)\frac{Se^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ Du musst also nur noch verifizieren, dass $$S-f(t)=\frac{Se^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ Bzw. vielleicht einfacher für dich:$$f(t)=S-\frac{Se^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ Da musst Du nur noch beide Terme auf einen Nenner bringen und Ausmultiplizieren.
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