Aufgabe:
Sei q ≥ -1 eine reelle Zahl. Für alle n € N gilt: \( (1+q)^n ≥ 1+ nq \)
Problem:
Ich versuche der Rechnung einer Vorlesefolie zu folgen:
Indunktionsanfang: (für n = 1)
\( (1 + q)^1 = 1 + q = 1 + nq = 1 + 1 * q \) // beide Seiten sind gleich für n = 1
Induktionsschritt:
(Zeilenangabe dienen hier als Orientierung)
(1. Zeile) Es gelte die Induktionsannahme \( (1+q)^n ≥ 1+ nq \)
(2. Zeile) und damit wird gezeigt, dass \( (1+q)^{n+1} ≥ 1+ (n+1) q \)
(3. Zeile) Tatsächlich gilt: \( (1+q)^{n+1} = (1+q)^n * (n+1) ≥ (1 + nq) * (1 + q) \)
(4. Zeile) \( = 1+nq+q + ng^2 ≥ 1+nq+q = 1 + (n+1)q \)
Unklar wird's für mich ab Zeile 3, nach dem ≥ ...
der erste Faktor stammt denke ich aus der Annahme: \( (1 + nq)\)
ich kann nicht erkennen wo der 2. Faktor herkommt: \( (1 + q) \)
Zeile 4...
Auf diese Zeile versuche ich durch Ausmultiplizieren zu kommen, aber das ist scheinbar nicht die richtige Vorgehensweise.
Zum Kontrollieren:
Wenn ich Zeile 3 die rechte Seite des \(=\)-Zeichens ausmultipliziere, erhalte ich:
\( 1+ng+nq+nq^2 ≥ 1+q+nq+nq^2 \)
Wie komm ich auf die 3. & 4. Zeile?
Welche Schritte wurden auf der Folie verschluckt?
Danke für Hilfe.